Ce chapitre d'introduction fixe les hypothèses de départ, estime les grandeurs utiles, puis prépare les deux modèles physiques utilisés dans la suite. Le diagramme associé à ce problème est disponible ici.
Masse de la main
On modélise la main comme une paume (pavé de \(9 \times 9 \times 2{,}5\;\text{cm}\)) prolongée par 5 doigts (cylindres de \(8\;\text{cm}\) de long et \(0{,}75\;\text{cm}\) de rayon) :
Le corps humain flotte à peine : \(\rho_{\text{main}} \approx \rho_{\text{eau}} = 1\;\text{g}\cdot\text{cm}^{-3}\), d'où :
Vitesse d'impact
Un bras adulte mesure environ \(60\;\text{cm}\). Une baffe décrit un arc d'environ un quart de tour en \(\Delta t \approx 0{,}15\;\text{s}\) (geste vif) :
Le bout de la main est plus éloigné de l'épaule que le coude, et le poignet fouette en fin de geste ; on retient donc
Distance d'arrêt
Entre le contact et l'arrêt presque complet, la main s'enfonce dans la chair de la cible. Pour un poulet maintenu sur une table, la déformation est surtout celle de la chair ; on estime
Hypothèses de modélisation
La main ne rebondit pas, la force est colinéaire au déplacement, normale à la surface de la table, et le poulet est maintenu (la table fournit la réaction normale).
Théorème de l'énergie cinétique
On cherche ici une accélération moyenne sur la distance d'arrêt. La variation d'énergie cinétique égale le travail de la force de contact :
En divisant par \(m\) et en posant \(|a_{\text{moy}}| = F_{\text{moy}}/m\), on obtient :
Avec \(v_f \approx 0\) :
Application numérique
| \(\Delta x\) | \(|a_{\text{moy}}|\) | En \(g\) |
|---|---|---|
| \(3\;\text{cm}\) | \(\dfrac{100}{0{,}06} \approx 1\,700\;\text{m/s}^2\) | \(\approx 170\;g\) |
| \(8\;\text{cm}\) | \(\dfrac{100}{0{,}16} \approx 630\;\text{m/s}^2\) | \(\approx 64\;g\) |
Méthode 1 : accélération moyenne de l'ordre de \(60\) à \(170\;g\).
Compression maximale et pic d'accélération
On modélise la chair comme un ressort de raideur \(k\). À compression maximale \(\delta\), l'énergie cinétique initiale de la main est stockée sous forme d'énergie élastique :
La force maximale et l'accélération maximale (pic) valent :
Comme \(F = kx\) croît linéairement avec la compression, la force moyenne sur la distance de freinage vaut \(F_{\max}/2\). L'accélération moyenne associée vaut donc :
Application numérique
On estime la raideur des tissus mous à environ \(k \approx 10\;\text{kN/m}\). Cela correspond à \(100\;\text{N/cm}\), soit environ le poids d'une masse de \(10\;\text{kg}\) pour enfoncer la chair de \(1\;\text{cm}\). Pour \(k = 10\;\text{kN/m}\) :
La déformation obtenue (\(5{,}2\;\text{cm}\)) reste dans la fourchette estimée, et l'accélération moyenne (\(\approx 100\;g\)) reste cohérente avec l'intervalle obtenu par la méthode 1.
Méthode 2 : \(a_{\text{moy}} \approx 100\;g\), et \(a_{\text{pic}} \approx 200\;g\).
Quantité de mouvement
Dans la méthode précédente, on a supposé que la main s'arrête presque complètement à l'impact. Pour tester la sensibilité du résultat, on prend un cas extrême : un poulet libre et une collision parfaitement inélastique. Ce modèle est grossier, mais il donne une borne raisonnable de la vitesse résiduelle possible de la main.
La quantité de mouvement totale du système \(\{\text{main} + \text{poulet}\}\) se conserve pendant le choc :
Pour un poulet de \(M = 2\;\text{kg}\) :
La vitesse résiduelle n'est donc qu'environ \(12\%\) de la vitesse initiale. Comme la formule cinématique dépend des carrés des vitesses, la correction attendue est encore plus faible.
En reprenant la formule moyenne avec \(\Delta x = 5\;\text{cm}\) :
| Hypothèse | \(|a_{\text{moy}}|\) | En \(g\) |
|---|---|---|
| Poulet libre (\(v_f = 1{,}2\;\text{m/s}\)) | \(\dfrac{100 - 1{,}4}{0{,}10} \approx 990\;\text{m/s}^2\) | \(\approx 101\;g\) |
| Poulet maintenu (\(v_f = 0\)) | \(\dfrac{100}{0{,}10} = 1\,000\;\text{m/s}^2\) | \(\approx 102\;g\) |
L'écart n'est que de \(1{,}4\;\%\).
Prendre \(v_f \approx 0\) est donc tout à fait légitime pour un calcul d'ordre de grandeur. Maintenir le poulet évite en plus qu'une partie de l'énergie parte dans la translation globale du poulet.
Convergence des deux approches
| Approche | Résultat |
|---|---|
| Énergie cinétique (\(\Delta x \in [3\;;\;8]\;\text{cm}\)) | \(|a_{\text{moy}}| \approx 60\) à \(170\;g\) |
| Masse-ressort (\(k = 10\;\text{kN/m}\)) | \(|a_{\text{moy}}| \approx 100\;g\), \(|a_{\text{pic}}| \approx 200\;g\) |
Les deux méthodes, basées sur des modèles physiques distincts, convergent vers le même ordre de grandeur. Le test de quantité de mouvement confirme en outre que considérer \(v_f \approx 0\) est cohérent.
Une baffe produit ici une accélération moyenne de l'ordre de \(100\;g\), avec un pic de l'ordre de \(200\;g\), donc de quelques \(10^2\,g\).
Approche acoustique
-
Une approche acoustique offrirait une
voie indépendante. Le « clac » de la baffe est une
impulsion sonore brève ; sa durée \(\Delta t\)
correspond à la durée du contact. On peut la mesurer
de deux façons :
- dans le domaine temporel : on lit directement la durée de l'impulsion sur un oscilloscope audio (Phyphox par ex.) ;
- dans le domaine fréquentiel : une impulsion de durée \(\Delta t\) produit un spectre dont la largeur de bande vaut \(B \approx 1/\Delta t\). Mesurer \(B\) revient donc à mesurer \(\Delta t\).
Une fois \(\Delta t\) connu, on retrouve l'accélération à partir de la méthode cinématique. Pour une décélération supposée constante avec \(v_f = 0\) :
En substituant dans \(|a| = \dfrac{v_i^{\,2}}{2\,\Delta x}\) :
Cette expression permet d'estimer \(|a|\) sans avoir à évaluer \(\Delta x\), grandeur plus difficile à mesurer directement.
