ODG - Cuire un poulet avec des baffes

Chapitre 0 : Introduction et hypothèses

Mise en place du modèle thermique du poulet, des constantes retenues et de l'échelle d'énergie minimale à fournir avant de tenir compte des pertes.

Ce chapitre d'introduction fixe les hypothèses de départ, estime les grandeurs utiles, puis prépare le bilan énergétique de la suite. Le diagramme associé à ce problème est disponible ici.

Modèle thermique du poulet

On modélise le poulet comme une sphère d'eau pure. Ce choix est raisonnable pour un calcul d'ordre de grandeur, car le poulet, comme l'homme, est majoritairement composé d'eau. Il présente aussi l'avantage de s'appuyer sur des constantes tabulées, donc sur des valeurs peu ambiguës.

Paramètres du modèle

Masse du poulet : $m = 2\;\text{kg}$.
Masse volumique : $\rho = 1\,000\;\text{kg/m}^3$.
Rayon équivalent (sphère de même masse) : $R = \left(\frac{3m}{4\pi\rho}\right)^{\!1/3} = \left(\frac{6}{4\pi \times 1000}\right)^{\!1/3} \approx 0{,}078\;\text{m}$
Surface : $S = 4\pi R^2 \approx 0{,}077\;\text{m}^2.$
Capacité thermique massique : $c_p = 4\,186\;\text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}$.
Conductivité thermique : $\lambda = 0{,}6\;\text{W}\,\text{m}^{-1}\,\text{K}^{-1}$.
Diffusivité thermique : $D = \frac{\lambda}{\rho\,c_p} = \frac{0{,}6}{1\,000 \times 4\,186} \approx 1{,}4 \times 10^{-7}\;\text{m}^2/\text{s}$
Coefficient de convection : $h = 20\;\text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-1}$. En air calme, $h \approx 10\;\text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-1}$ (cf. cours diffusion thermique ch11) ; le mouvement répété de la main brasse l'air au voisinage du poulet, ce qui justifie une valeur de convection un peu plus élevée.
Températures : $T_i = 20\;^\circ\text{C}$ (initiale), $T_f = 70\;^\circ\text{C}$ (cuisson à cœur).
Écart de température : $\Delta T = T_f - T_i = 50\;\text{K}$.

L'énergie nécessaire pour élever la température du poulet de $T_i$ à $T_f$ vaut :

Q_{\text{chauffe}} = m\,c_p\,\Delta T = 2 \times 4\,186 \times 50 = 418\,600\;\text{J} \approx 4{,}2 \times 10^5\;\text{J} \approx 420\;\text{kJ}.

Énergie thermique déposée par baffe

D'après la question précédente (nombre de $g$ par claque), la main ($m_{\text{main}} = 0{,}27\;\text{kg}$, $v_i = 10\;\text{m/s}$) ne rebondit pratiquement pas après l'impact. L'énergie cinétique initiale disponible vaut donc :

E_c = \tfrac{1}{2}\,m_{\text{main}}\,v_i^{\,2} = \tfrac{1}{2} \times 0{,}27 \times 10^2 = 13{,}5\;\text{J}.

Deux phénomènes réduisent l'énergie thermique effectivement déposée dans le poulet :

Restitution élastique

La chair se comporte comme un matériau élastique (i.e. un ressort). En reprenant l'estimation de l'article précédent, $\delta \approx 5{,}2\;\text{cm}$ pour $k \approx 10\;\text{kN/m}$. L'énergie temporairement stockée à compression maximale vaut alors :

E_{\text{stock}} = \tfrac{1}{2}\,k\,\delta^2 \approx \tfrac{1}{2} \times 10\,000 \times (0{,}052)^2 \approx 13{,}5\;\text{J} \approx E_c.

Cela montre que l'énergie cinétique peut transiter presque entièrement par une phase de compression. Toutefois, comme la main ne rebondit pratiquement pas après l'impact, la part effectivement restituée reste négligeable à cet ordre de grandeur.

Autrement dit, la compression n'est pas une perte concurrente de l'échauffement : c'est l'étape intermédiaire par laquelle l'énergie mécanique est stockée puis dissipée. En l'absence de rebond marqué, cette énergie ne repart pas sous forme de mouvement et finit donc essentiellement en chaleur.

Partage thermique main/poulet

La chaleur dissipée se répartit entre la main et le poulet. Au contact, le flux se partage selon les effusivités thermiques

b = \sqrt{\lambda\,\rho\,c_p}

(cf. exo4 ch11). Pour deux milieux aqueux (paume et chair), $b_{\text{main}} \approx b_{\text{poulet}}$, ce qui conduit à un partage de l'ordre de $50/50$.

Remarque. L'énergie acoustique due au claquement est considérée négligeable devant $E_c$ ici.

L'énergie thermique effectivement déposée dans le poulet par baffe vaut donc :

E_{\text{baffe}} \approx 0{,}50 \times E_c = 0{,}50 \times 13{,}5 = 6{,}75\;\text{J} \approx 6{,}8\;\text{J}.

Nombre de baffes sans pertes thermiques

En supposant aucune perte (convection, rayonnement, évaporation) :

N_{\min} = \frac{Q_{\text{chauffe}}}{E_{\text{baffe}}} \approx \frac{4{,}2 \times 10^5}{6{,}75} \approx 6{,}2 \times 10^4

soit environ

N_{\min} \approx 62\,000\;\text{baffes}.

C'est une borne inférieure idéale. En réalité, le poulet perd de la chaleur en permanence ; il faudra davantage de baffes.

Vérification thermodynamique par l'entropie

Cette approche ne remplace pas le bilan énergétique précédent, mais elle permet de vérifier que l'ordre de grandeur obtenu est thermodynamiquement cohérent.

Variation d'entropie du poulet

L'entropie d'un corps de capacité thermique constante $C = m\,c_p$ chauffé de $T_i$ à $T_f$ vaut :

\Delta S_{\text{poulet}} = m\,c_p\,\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = 2 \times 4\,186 \times \ln\!\left(\frac{343}{293}\right) \approx 1{,}32 \times 10^3\;\text{J/K}.

Entropie créée par baffe

Si l'on approxime la température caractéristique du processus par

\bar{T} \approx \frac{T_i + T_f}{2} = 318\;\text{K},

alors l'entropie créée par une baffe est de l'ordre de

\delta S_{\text{créé}} \sim \frac{E_{\text{baffe}}}{\bar{T}} \approx \frac{6{,}75}{318} \approx 2{,}1 \times 10^{-2}\;\text{J/K}.

Nombre de baffes déduit

On obtient alors

N_{\text{entropie}} \sim \frac{\Delta S_{\text{poulet}}}{\delta S_{\text{créé}}} \approx \frac{1{,}32 \times 10^3}{2{,}1 \times 10^{-2}} \approx 6{,}2 \times 10^4,

soit à nouveau

N_{\text{entropie}} \approx 62\,000\;\text{baffes}.

On retrouve bien le même ordre de grandeur que par le bilan énergétique direct.

Pertes par convection

Le poulet échange de la chaleur avec l'air ambiant ($T_0 = 20\;^\circ\text{C}$) par convection. La densité de flux thermique convectif à la surface est donnée par la loi de Newton :

\vec{j}_{\,\text{conv}} = h\,(T_s - T_0)\,\vec{n},

où $T_s$ est la température de surface et $\vec{n}$ la normale sortante. La puissance totale perdue s'obtient par intégration sur la surface fermée du poulet :

P_{\text{conv}} = \iint_S \vec{j}_{\,\text{conv}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = h\,S\,(T_s - T_0)

(en supposant $T_s$ uniforme sur $S$, homogénéisée par les baffes successives sous divers angles).

Dans le cas le plus défavorable ($T_s = T_f = 70\;^\circ\text{C}$, fin de cuisson) :

P_{\text{conv}}^{\max} = 20 \times 0{,}077 \times 50 \approx 77\;\text{W}.

Pertes par rayonnement

Le poulet, assimilé à une sphère d'eau, est pris comme un corps noir dans l'infrarouge thermique. La puissance rayonnée vaut donc :

P_{\text{rad}} = \sigma\,S\,(T_s^4 - T_0^4),

où $\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\;\text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-4}$ est la constante de Stefan--Boltzmann.

À la fin de la cuisson ($T_s = 343\;\text{K}$) :

P_{\text{rad}}^{\max} \approx 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}077 \times (343^4 - 293^4) \approx 28\;\text{W}.

Pertes par évaporation

À mesure que la surface approche de $70\;^\circ\text{C}$, une petite quantité d'eau superficielle s'évapore. La chaleur latente de vaporisation vaut

L_v \approx 2{,}26\;\text{MJ/kg}.

Estimation de la masse évaporée

On raisonne en ordre de grandeur. L'évaporation ne concerne qu'une fine couche superficielle du poulet. On estime l'épaisseur de chair qui sèche significativement au cours de la cuisson à une valeur de $\ell$ de $2$ à $3\;\text{mm}$. Le volume correspondant vaut

V_{\text{couche}} \sim S\,\ell \approx 0{,}077 \times 3 \times 10^{-3} \approx 2{,}3 \times 10^{-4}\;\text{m}^3,

soit une masse d'eau de l'ordre de

m_{\text{couche}} \sim \rho\,V_{\text{couche}} \approx 1000 \times 2{,}3 \times 10^{-4} \approx 230\;\text{g}.

Si une fraction modérée, de l'ordre de $10$ à $15\,\%$, de cette eau s'évapore pendant la cuisson, on obtient naturellement

m_{\text{évap}} \sim 30\;\text{g}.

D'où l'énergie perdue par évaporation :

Q_{\text{évap}} = 0{,}030 \times 2{,}26 \times 10^6 \approx 6{,}8 \times 10^4\;\text{J} \approx 68\;\text{kJ}.

Rapportée à la durée de cuisson $t_{\text{cuisson}} \approx 17\,500\;\text{s}$ (cf. section suivante), la puissance moyenne d'évaporation est :

P_{\text{évap}} = \frac{Q_{\text{évap}}}{t_{\text{cuisson}}} \approx \frac{68\,000}{17\,500} \approx 3{,}9\;\text{W}.

Diffusion interne (conduction)

La chaleur déposée en surface doit diffuser vers le cœur. En coordonnées sphériques, par symétrie, la densité de flux de conduction est radiale (loi de Fourier) :

\vec{j}_{\,\text{diff}} = -\lambda\,\frac{\partial T}{\partial r}\,\vec{e}_r.

La puissance conduite vers l'intérieur à travers la surface $r = R$ vaut :

P_{\text{diff}} = \lambda\,\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R} \times 4\pi R^2

(signe choisi positif quand le flux est dirigé vers l'intérieur).

Pour estimer le gradient, on suppose un profil presque linéaire en $r$ (surface à $T_f$, cœur encore à $T_i$) :

\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R} \approx \frac{\Delta T}{R} = \frac{50}{0{,}078} \approx 6{,}4 \times 10^2\;\text{K/m}.

D'où :

P_{\text{diff}}^{\max} \approx 0{,}6 \times 6{,}4 \times 10^2 \times 0{,}077 \approx 30\;\text{W}.

Remarque. Cette puissance de conduction n'est pas une perte vers l'extérieur : c'est un flux interne au poulet qui redistribue la chaleur de la surface vers le cœur. Elle intervient dans le bilan local à la surface, mais n'ets pas ajoutée une seconde fois au bilan énergétique global, car elle est déjà contenue dans

Q_{\text{chauffe}} = m\,c_p\,\Delta T.

Bilan de puissance à la surface et fréquence minimale

On note

\theta(t)=T_s(t)-T_0

l'excès de température de surface. Pour estimer l'énergie totale perdue sur la durée de cuisson, on suppose que la montée en température est approximativement régulière, autrement dit que l'opérateur ajuste sa cadence de sorte que le poulet se réchauffe à peu près à vitesse constante. L'approximation la plus simple compatible avec les conditions aux bornes

\theta(0)=0 \qquad \text{et} \qquad \theta(t_c)=\Delta T

est alors la loi affine :

\theta(t)=\Delta T\,\frac{t}{t_c}.

Autrement dit, on approxime la température de surface par

T_s(t)=T_0+\Delta T\,\frac{t}{t_c}.

Il s'agit d'un modèle très simplifié mais qui nous est suffisant ici.

Le bilan instantané de puissance à la surface du poulet s'écrit alors, en notant $f$ la fréquence des baffes :

f\,E_{\text{baffe}} = \underbrace{m\,c_p\,\dot{T}_{\text{moy}}}_{\text{chauffe du poulet}} + \underbrace{h\,S\,\theta(t)}_{\text{convection}} + \underbrace{\sigma\,S\!\left(T_s(t)^4-T_0^4\right)}_{\text{rayonnement}} + \underbrace{P_{\text{évap}}}_{\text{évaporation}}.

Dans le cas le plus défavorable, en fin de cuisson ($T_s \approx T_f = 343\;\text{K}$), en conservant la puissance moyenne de chauffe $\dfrac{Q_{\text{chauffe}}}{t_{\text{cuisson}}} \approx 24\;\text{W}$ :

f_{\min}^{\text{fin}} \approx \frac{\dfrac{Q_{\text{chauffe}}}{t_{\text{cuisson}}} + h\,S\,\Delta T + \sigma\,S\,(T_f^4-T_0^4) + P_{\text{évap}}} {E_{\text{baffe}}}.

Application numérique :

f_{\min}^{\text{fin}} \approx \frac{24 + 20\times 0{,}077 \times 50 + 28 + 3{,}9}{6{,}75} \approx 20\;\text{Hz}.

En moyenne sur tout le processus, on a

\frac{Q_{\text{chauffe}}}{t_{\text{cuisson}}} \approx \frac{4{,}19\times 10^5}{1{,}75\times 10^4} \approx 24\;\text{W},

et un excès de température moyen

\bar{\theta} \approx \frac{\Delta T}{2} = 25\;\text{K}.

Pour le rayonnement, on peut utiliser la puissance moyenne correspondante sur la durée de cuisson :

\bar{P}_{\text{rad}} = \frac{Q_{\text{rad}}}{t_{\text{cuisson}}} \approx \frac{2{,}3\times 10^5}{1{,}75\times 10^4} \approx 13\;\text{W}.

D'où une fréquence moyenne requise de l'ordre de

f_{\text{moy}} \approx \frac{24 + h\,S\,\bar{\theta} + \bar{P}_{\text{rad}} + 3{,}9}{6{,}75} \approx 12\;\text{Hz}.

Soit environ 12 à 20 baffes par seconde selon l'instant considéré.

Temps de cuisson : le facteur limitant

Indépendamment du nombre total de baffes, la chaleur déposée en surface doit diffuser jusqu'aux zones internes de la chair. L'équation de la chaleur en symétrie sphérique s'écrit :

\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{D}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r} \!\left(r^2\,\frac{\partial T}{\partial r}\right), \qquad D = \frac{\lambda}{\rho\,c_p} \approx 1{,}4 \times 10^{-7}\;\text{m}^2/\text{s}

(cf. cours diffusion thermique ch11).

Sphère pleine

Le temps caractéristique de diffusion sur la distance $R$ vaut :

\frac{R^2}{D} = \frac{(0{,}078)^2}{1{,}4 \times 10^{-7}} \approx 4{,}3 \times 10^4\;\text{s} \approx 12\;\text{h}.

Ce temps est trop grand pour un vrai poulet entier, car un poulet vidé n'est pas une sphère pleine.

Coque sphérique (modèle retenu)

Un poulet vidé est plus fidèlement décrit comme une coque d'épaisseur $e \approx 5\;\text{cm}$, chauffée sur sa face externe et presque isolée côté cavité. La distance de diffusion pertinente est donc $e$, d'où :

t_{\text{cuisson}} \approx \frac{e^2}{D} = \frac{(0{,}05)^2}{1{,}4 \times 10^{-7}} \approx 1{,}75 \times 10^4\;\text{s} \approx 4{,}9\;\text{h}.

Conclusion intermédiaire : dans un scénario où la surface reste d'ordre $70^\circ\text{C}$, la diffusion thermique impose une durée de cuisson de l'ordre de 5 heures.

Nombre total de baffes avec pertes

Modèle de montée en température

On note $t_c = t_{\text{cuisson}} \approx 17\,500\;\text{s}$. Comme expliqué plus haut, on approxime la température de surface par une loi affine :

T_s(t)=T_0+\Delta T\,\frac{t}{t_c},

soit encore

\theta(t)=T_s(t)-T_0=\Delta T\,\frac{t}{t_c}.

L'énergie totale à fournir se décompose en :

Q_{\text{total}} = Q_{\text{chauffe}} + Q_{\text{conv}} + Q_{\text{rad}} + Q_{\text{évap}}.

Énergie de chauffe

Q_{\text{chauffe}} = m\,c_p\,\Delta T \approx 420\;\text{kJ}.

Pertes par convection

Q_{\text{conv}} = \int_0^{t_c} h\,S\,\theta(t)\,\mathrm{d}t = h\,S\,\Delta T \int_0^{t_c} \frac{t}{t_c}\,\mathrm{d}t = h\,S\,\frac{\Delta T}{2}\,t_c.

Numériquement :

Q_{\text{conv}} = 20 \times 0{,}077 \times 25 \times 17\,500 \approx 6{,}7 \times 10^5\;\text{J} \approx 670\;\text{kJ}.

Pertes par rayonnement

Pour l'énergie totale rayonnée, on garde ici la loi exacte de Stefan :

Q_{\text{rad}} = \sigma S \int_0^{t_c} \left(T_s(t)^4 - T_0^4\right)\,\mathrm{d}t, \qquad T_s(t) = T_0 + \Delta T\,\frac{t}{t_c}.

D'où

Q_{\text{rad}} = \sigma S \int_0^{t_c} \left[ \left(T_0+\Delta T\,\frac{t}{t_c}\right)^4 - T_0^4 \right]\mathrm{d}t.

En développant :

\left(T_0+\Delta T\,\frac{t}{t_c}\right)^4 - T_0^4 = 4T_0^3\Delta T\,\frac{t}{t_c} + 6T_0^2\Delta T^2\,\frac{t^2}{t_c^2} + 4T_0\Delta T^3\,\frac{t^3}{t_c^3} + \Delta T^4\,\frac{t^4}{t_c^4}.

On intègre ensuite terme à terme :

Q_{\text{rad}} = \sigma S t_c \left( 2T_0^3\Delta T + 2T_0^2\Delta T^2 + T_0\Delta T^3 + \frac{\Delta T^4}{5} \right).

Application numérique :

Q_{\text{rad}} \approx 2{,}3 \times 10^5\;\text{J} \approx 230\;\text{kJ}.

Pertes par évaporation

Comme estimé précédemment :

Q_{\text{évap}} \approx 68\;\text{kJ}.

Bilan et nombre de baffes

Terme	Énergie (kJ)
$Q_{\text{chauffe}}$	$420$
$Q_{\text{conv}}$	$670$
$Q_{\text{rad}}$	$230$
$Q_{\text{évap}}$	$68$
$Q_{\text{total}}$	$\mathbf{1\,390 \approx 1{,}4\;\text{MJ}}$

Remarque. Les pertes cumulées ($\approx 970\;\text{kJ}$) représentent un peu plus de deux fois l'énergie de chauffe pure ($\approx 420\;\text{kJ}$), conséquence directe des ${\sim}5\;\text{h}$ de cuisson imposées par la diffusion.

N_{\text{total}} = \frac{Q_{\text{total}}}{E_{\text{baffe}}} \approx \frac{1{,}39 \times 10^6}{6{,}75} \approx 2{,}1 \times 10^5

soit environ

N_{\text{total}} \approx 205\,000\;\text{baffes}.

Vérification de cohérence

La fréquence moyenne correspondante vaut :

f_{\text{moy}} = \frac{N_{\text{total}}}{t_c} \approx \frac{205\,000}{17\,500} \approx 12\;\text{Hz},

ce qui est cohérent avec l'estimation précédente.

Synthèse

Scénario	$N$ (baffes)	Durée
Sans pertes (borne inférieure)	$\sim 62\,000$	---
Avec pertes (conv. + rad. + évap.)	$\sim 205\,000$	$\sim 5\;\text{h}$

Conclusion : il est théoriquement possible de cuire un poulet à coups de baffes, mais il faudrait de l'ordre de

\mathbf{2{,}1 \times 10^5}

baffes, à un rythme d'environ

\mathbf{12\;\text{baffes par seconde}}

pendant

\mathbf{5\;\text{heures}},

avec des pointes proches de

\mathbf{20\;\text{baffes par seconde}}

en fin de cuisson. C'est donc surtout un problème d'endurance et de pertes thermiques.

Terme	Énergie (kJ)
\(Q_{\text{chauffe}}\)	\(420\)
\(Q_{\text{conv}}\)	\(670\)
\(Q_{\text{rad}}\)	\(230\)
\(Q_{\text{évap}}\)	\(68\)
\(Q_{\text{total}}\)	\(\mathbf{1\,390 \approx 1{,}4\;\text{MJ}}\)

Combien de baffes pour cuire un poulet ?

Chapitre 0 : Introduction et hypothèses

Modèle thermique du poulet

Paramètres du modèle

Énergie thermique déposée par baffe

Restitution élastique

Partage thermique main/poulet

Nombre de baffes sans pertes thermiques

Vérification thermodynamique par l'entropie

Variation d'entropie du poulet

Entropie créée par baffe

Nombre de baffes déduit

Pertes par convection

Pertes par rayonnement

Pertes par évaporation

Estimation de la masse évaporée

Diffusion interne (conduction)

Bilan de puissance à la surface et fréquence minimale

Temps de cuisson : le facteur limitant

Sphère pleine

Coque sphérique (modèle retenu)

Nombre total de baffes avec pertes

Modèle de montée en température

Énergie de chauffe

Pertes par convection

Pertes par rayonnement

Pertes par évaporation

Bilan et nombre de baffes

Vérification de cohérence

Synthèse

Problème 1

Scénario	\(N\) (baffes)	Durée
Sans pertes (borne inférieure)	\(\sim 62\,000\)	---
Avec pertes (conv. + rad. + évap.)	\(\sim 205\,000\)	\(\sim 5\;\text{h}\)